geometria - alguem resolve

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geometria - alguem resolve

Mensagempor melina_vieri » Domingo Jul 07, 2013 2:20 pm

1 qual a area do circulo no qual pode-se inscrever um triangulo cujo as arestas
medem 18 cm cada ?
a)108 pi cm^2
b)324pi cm^2
c)36pi cm ^2
d)2433 cm^2
e)81V3 cm^2

resp. A
melina_vieri
 
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Re: geometria - alguem resolve

Mensagempor ivomilton » Domingo Jul 07, 2013 10:51 pm

melina_vieri escrito:1 qual a area do circulo no qual pode-se inscrever um triangulo cujo as arestas
medem 18 cm cada ?
a)108 pi cm^2
b)324pi cm^2
c)36pi cm ^2
d)2433 cm^2
e)81V3 cm^2

resp. A


Boa noite,

Faça o esboço de um triângulo equilátero inscrito em um círculo.
Marque o centro com um ponto, e identifique-o com a letra O.
Identifique seus vértices assim:
A, o vértice superior
B, o da base, lado esquedo
C, o da base, lado direito

A partir do vértice A, trace a mediana relativa à base BC, identificando com a letra M seu ponto de encontro com a base BC; trace as demais medianas: a partir de B e a partir de C.
Todas as 3 medianas irão interceptar o lado oposto no seu ponto médio.
As medianas de qualquer triângulo cortam-se a 2/3 de sua medida, em relação ao vértice de onde partiram.
Por sua vez, as três alturas (no caso de o triângulo ser equilátero) irão coincidir com as 3 medianas.

Nosso alvo é encontrar a medida do raio do círculo para então calcularmos sua área.
No triângulo retângulo AMB temos:
AB = lado do triângulo
BM = metade do lado do triângulo
AM = x (altura do triângulo)

Por Pitágoras, temos:
(altura)² = (lado)² - (lado/2)²
h² = l² - (l/2)²
h² = l² - l²/4 = l²(1 - 1/4) = l²(3/4) = 3l²/4
h = √(3l²/4)
h = (l/2).√3
h = l√3/2

Como o centro do círculo está a 2/3 do vértice, em relação ao comprimento da mediana (que no caso é igual à altura), fica:
mediana completa = altura relativa à base = l√3/2
raio (r) = 2/3 * mediana completa = 2/3 * l√3/2 = 2l√3/6 = l√3/3

Concluindo:
Área do círculo = πr² = (l√3/3)² * π = 3l²/9 * π = l²/3 * π

Como as arestas do triângulo (seus lados) medem 18 cm cada, vem:
Área do círculo = (18)²/3 * π = 324/3 * π = 108 π cm²



Um abraço.
Vinde a mim todos os que estais cansados e oprimidos e eu vos aliviarei. Tomai sobre vós o meu jugo e aprendei de mim que sou manso e humilde de coração e achareis descanso para a vossa alma porque o meu jugo é suave e o meu fardo e leve. Mt 11:28-30
ivomilton
 
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Re: geometria - alguem resolve

Mensagempor melina_vieri » Quarta Jul 10, 2013 12:30 pm

boa tarde professor ivomilton
que questao dificil de resolver.
eu nunca saberia resolve-la mesmo numa prova,porque envolve
conceitos e é bem dificil.
muiito obrigada pela ajuda.
nakyelli
melina_vieri
 
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