Equação Linear, alguem me ajude Plis....

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Equação Linear, alguem me ajude Plis....

Mensagempor luizfelipedepaulo » Sexta Jul 26, 2013 10:57 am

Considere o sistema de equações lineares { x+2y+3z= 24
2x+y+6z=30
x+y+3z=18

Tomando somente as soluções no conjunto dos inteiros positivos, pode-se afirmar que o sistema:
a) Não admite solução
b) Tem solução única
c) Existem duas soluções exatamente
e) Possui infinitas soluções

gostaria que alguem me ajudasse nesse problema, pois com a regra de cramer, não estou conseguindo resolver, pois os meus resultados estão todos dando 0.
luizfelipedepaulo
 
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Re: Equação Linear, alguem me ajude Plis....

Mensagempor ivomilton » Sexta Jul 26, 2013 12:27 pm

luizfelipedepaulo escrito:Considere o sistema de equações lineares { x+2y+3z= 24
2x+y+6z=30
x+y+3z=18

Tomando somente as soluções no conjunto dos inteiros positivos, pode-se afirmar que o sistema:
a) Não admite solução
b) Tem solução única
c) Existem duas soluções exatamente
e) Possui infinitas soluções

gostaria que alguem me ajudasse nesse problema, pois com a regra de cramer, não estou conseguindo resolver, pois os meus resultados estão todos dando 0.


Bom dia, Luiz.

Veja aí se minha solução servirá.

Importante: coloquei "1" antes de cada incógnita com coef. igual a 1, a fim de melhorar a disposição dos termos (um sob o outro).


1x + 2y + 3z = 24 .... (I)
2x + 1y + 6z = 30 .... (II)
1x + 1y + 3z = 18 .... (III)

-2*(I) + (II) = -2x - 4y - 6z = -48
..............= +2x +1y +6z = +30
............... ------------------------
..................... - 3y .... = -18
........................ y = -18/-3
........................ y = 6

(II) - 2*(III) = 2x + 1y + 6z = 30
............ = -2x - 2y - 6z = -36
.............. ------------------------
................... - 1y ..... = -6
...................... y = -6/-1
...................... y = 6

A seguir, vou fazer y=6 nas três equações:
1x + 12 + 3z = 24
2x + _6 + 6z = 30
1x + _6 + 3z = 18

1x + 3z = 24-12
2x + 6z = 30-_6
1x + 3z = 18-_6

Ou seja:

1x + 3z = 12 .... (IV)
2x + 6z = 24 .... (V)
1x + 3z = 12 .... (VI)

Ora, (IV) e (VI) são a mesma equação e os termos da (V) são proporcionais aos das outras duas...
Aparentemente, então, terão infinitas soluções.
Contudo, dada a limitação de as incógnitas terem que ser inteiras e positivas, vem:

x + 3z = 12 → uma equação diofantina (duas incógnitas e apenas uma só equação)

Resolvendo essa diofantina, temos:
3z = 12 - x
z = (12 - x)/3
z = 4 - x/3 ........ (VI)

Sendo "z" e "x" inteiros, obviamente o quociente de x/3 deverá ser também um inteiro.
Fazendo, pois, x/3 = m (uma incógnita escolhida ao acaso), fica:
x/3 = m
x = 3m ............ (VII)

Substituindo (VII) em (VI), temos:
z = 4 - 3m/3
z = 4 - m ......... (VIII)

Como os valores encontrados para "x" e "z", além de inteiros deverão ser positivos, vem:
x → 3m > 0 → m > 0
z → 4 - m > 0 → 4 > m → m < 4

A interseção desses 2 valores para "m", nos dá:
0 < m < 4 → m = 1 ou 2 ou 3

Temos, portanto, a seguinte tabela de valores para m, x e z:
m ...x=3m .. z=4-m
1 ..... 3 ........ 3
2 ..... 6 ........ 2
3 ..... 9 ........ 1

Finalizando:
x = 3, 6, 3
y = 6, 6, 2
z = 9, 6, 1


Essas são as únicas soluções inteiras e positivas que encontrei!




Um abraço
Vinde a mim todos os que estais cansados e oprimidos e eu vos aliviarei. Tomai sobre vós o meu jugo e aprendei de mim que sou manso e humilde de coração e achareis descanso para a vossa alma porque o meu jugo é suave e o meu fardo e leve. Mt 11:28-30
ivomilton
 
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