Múltiplos de dois números

Assuntos matemáticos relacionados ao ensino fundamental.

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Múltiplos de dois números

Mensagempor ricardonove » Sexta Ago 05, 2011 12:16 pm

Pessoal, prestei determinado concurso, e não consegui resolver esta questão:

1) Um livro de ensino médio tem 262 páginas. Os exercícios estão dispostos nas páginas numeradas com múltiplos de 5 e as soluções dos exercícios estão dispostas nas páginas numeradas com múltiplos de 13. O número de folhas que não figuram exercícios ou soluções é de:
a) 64
b) 67
c) 124
d) 190
A resposta do gabarito é: "alternativa b".
Obrigado e Deus abençoe.
ricardonove
 
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Re: Múltiplos de dois números

Mensagempor ivomilton » Sexta Ago 05, 2011 7:13 pm

ricardonove escrito:Pessoal, prestei determinado concurso, e não consegui resolver esta questão:

1) Um livro de ensino médio tem 262 páginas. Os exercícios estão dispostos nas páginas numeradas com múltiplos de 5 e as soluções dos exercícios estão dispostas nas páginas numeradas com múltiplos de 13. O número de folhas que não figuram exercícios ou soluções é de:
a) 64
b) 67
c) 124
d) 190
A resposta do gabarito é: "alternativa b".
Obrigado e Deus abençoe.


Boa noite!

262 páginas são 262/2, ou seja, 131 folhas.

Múltiplos de 5:
262/5 = 52 inteiros.

Múltiplos de 13:
262/13 = 20 inteiros.

Mas da soma das duas quantidades teremos que descontar os múltiplos de 65 (=múltiplos comuns de 5 e 13), pois constam das duas contagens:
262/65 = 4 inteiros.

52 + 20 - 4 = 68 páginas contendo exercícios ou soluções.

Estas 68 páginas seriam 68 folhas (uma face usada, a outra não), não fosse a existência de folhas contendo exercícios de um lado e soluções do outro.
Essas folhas são as que têm numerações em que uma das páginas é um número múltiplo de 5 e a o do outro lado é um número múltiplo de 13.

5,10,15,20, 25 ,30,35, 40 ,45,50,55,60,65 ...
13, 26 , 39 ,52,65,78,91,104,117,130,143 ...

Temos, então, em destaque nas linhas acima: 25,26 e 39,40.
As próximas folhas a atender esses mesmos requisitos deverão estar distantes desses, um valor igual a 65 (=5*13) ou múltiplo de 65.

Testemos:
25 + 65 = 90 (continua sendo múltiplo de 5)
26 + 65 = 91 (este não é múltiplo de 13)

Continuemos testando:
25 + 130 = 155 (continua sendo múltiplo de 5)
26 + 130 = 156 (continua sendo múltiplo de 13)

Continuemos testanto:
39 + 130 = 169 (continua sendo múltiplo de 13)
40 + 130 = 170 (continua sendo múltiplo de 5)

Assim, além de 25,26 e 39,40, temos também 155,156 e 169,170.
Se adicionarmos outros 130 nestes últimos, iremos ultrapassar a quantidade de páginas, que é 262: por isso, encerramos aqui essa pesquisa.

Portanto, das 68 folhas possíveis, temos que descontar essas quatro: 68 - 4 = 64.

Logo, das 131 folhas do livro, 64 contêm (num lado, ou no outro, ou em ambos os lados) os exercícios e as soluções.

Conclusão: O número de folhas em que não figuram exercícios ou soluções é de 131 - 64 = 67 folhas.

Alternativa (b)






Um abraço.
Vinde a mim todos os que estais cansados e oprimidos e eu vos aliviarei. Tomai sobre vós o meu jugo e aprendei de mim que sou manso e humilde de coração e achareis descanso para a vossa alma porque o meu jugo é suave e o meu fardo e leve. Mt 11:28-30
ivomilton
 
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Re: Múltiplos de dois números

Mensagempor ricardonove » Sexta Ago 05, 2011 8:58 pm

Obrigado mais uma vez, ivomilton. Apesar da questão figurar em concurso de ensino fundamental, ela tem todo o tipo de raciocínio lógico.
Parabéns pela resolução.
Um abraço.
ricardonove
 
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