Valores exatos para as razões trigonométricas

Assuntos matemáticos relacionados ao ensino fundamental.

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Valores exatos para as razões trigonométricas

Mensagempor Jothar » Sexta Fev 12, 2010 8:26 pm

Pessoal, tenho uma dúvida e uma curiosidade a respeito das razões trigonometricas:

Dúvida: porque motivo os valores para seno, cosseno e tangente determinados num triângulo retângulo é diferente daquele apresentado na tabela para um mesmo ângulo? Os valores exatos para seno, cosseno e a tangente de 30º, 45º e 60º são determinados por meio do triângulo equilátero. Porque ele permite obter os valores exatos?

Curiosidade: como são determinadas as razões para os outros ângulos, como por exemplo, 28º?
Jothar
 
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Re: Valores exatos para as razões trigonométricas

Mensagempor Elcioschin » Sábado Fev 13, 2010 9:08 am

Os valores da tabela NÃO são diferentes dos valores encontrados no triângulo: na tabela os valores são APROXIMDOS, com apenas algumas casas decimais.

seno ....... triângulo ...... tabela

sen30º ........ 1/2 .......... 0,5000
sen45º ....... V2/2 ......... 0,7071.....
sen60º ....... V3/2 ......... 0,8660.....

Imagine um triângulo retângulo de lados catetos AB = 3 e AC = 7
A hipotenusa é dada por: BC² = 3² + 7² ---> BC² = 58 ----> BC = V(58)
O seno do MENOR ângulo vale: senB = 3/V58 ----> Este é o valor exato

Pela tabela, o valor com 4 casas decimais seria: senB = 0,3939....

Para calcular ALGUNS ângulos especiais, basta usar Relações Trigonométricas:

15º ; 7,5º ; 3,75º ; etc são obtidos a partir de 30º ----> sen2x = 2*senx*cosx

22,5º ; 67,5º são obtidos a partir de 45°----> cos2x = 2*cos²x - 1 ----> tg²2x = 2*tgx/(1 - tg²x)

E assim por diante.

Para angulos quaisquer, o processo de cálculo envolve conhecimentos de Séries, matéria do Ensino Superior.
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Re: Valores exatos para as razões trigonométricas

Mensagempor Jothar » Sábado Fev 13, 2010 10:12 am

Obrigado!..., mas considere o exemplo:

Triângulo retângulo cujos catetos medem 5 e 3 e formem um ângulo de 30º. Logo a hipotenusa medirá: H^2 = 25 + 9 ---> H^2 = 34 ---> H = V34

O seno de 30º = CO/H ---> CO = 3 e H = V34, logo sen de 30º = 3/V34 = 3V34/34 aprox. 0,514 que é muito distante de 0,500. De fato, foi infeliz ao formular a minha pergunta! Não que 0,514 esteja errado, mas o valor está muito além daquele apresentado na tabela. Isso se deve a que? imprecisão da medida dos catetos(erro inerente?). No caso da obtenção do valor exato das razões para os ângulos 30º e 60º através do triângulo equilátero,as "imprecisões" foram contornadas ao se obter as razões mediante a Álgebra (uso de variáveis?).
Jothar
 
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