[Resolvido] Triângulos - (largura do rio e altura da árvore)

Assuntos matemáticos relacionados ao ensino médio.

Moderadores: Helio Carvalho, Paulo Testoni, Elcioschin

[Resolvido] Triângulos - (largura do rio e altura da árvore)

Mensagempor rafaelplaurindo » Domingo Dez 26, 2010 3:06 pm

Uma pessoa na margem de um rio vê, sob um ângulo de 60°, uma árvore na margem oposta. Quando ela se afasta 40m esse ângulo passa a valer 30 °. Quanto valem, em metros, respectivamente a altura da árvore e a largura do rio?

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a) 20 e 20 √3      b) 20 √3 e 20      c) 20 e 10√3      d) 10√3 e 20      e) n.d.a.


Podem ver nesta imagem como ficou o esquema:

Imagem

Ele se afastou (somente para trás) 40m, formando o angulo Ĉ que passou a valer 30°, com relação a posição da árvore. Antes a pessoa se encontrava em D, formando um ângulo de 60°.
Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180. Se o ângulo do vértice D do triângulo ADB vale 60, o ângulo do D do DCB vale 120. Logo, o ângulo do B do triângulo DCB vale 180 - (120 + 30) = 30°. Logo, podemos constatar que o triângulo DCB é isósceles, tendo dois ângulos iguais, logo a semi-reta DB também é igual a 40m assim como DC.

Sabendo que no triângulo retângulo sen(α) = {cat. op.} / hip, e que o ângulo do B do triângulo ADB é 30.

Sabendo ainda que, sen(30) = 1/2. Podemos assim montar a proporção: 1 / 2 = l / 40.
Aplicando o produto dos meios pelo produto dos extremos temos: 2l = 40 → l = 40 / 2 → l = 20.
Logo, a largura do rio é igual a 20m. Mas, da altura da árvore, não entendi como resolver, podem me ajudar?
Editado pela última vez por rafaelplaurindo em Sábado Jan 15, 2011 5:38 pm, no total de 5 vezes.
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Re: Triângulos

Mensagempor Elcioschin » Domingo Dez 26, 2010 5:17 pm

Teu desenho não corresponde à realidade: os ângulos do enunciado NÃO estão num plano horizontal e sim num plano VERTICAL.
Vou fazer um esquesma:

B
|
|
|
|
|
|
|
|
|_______________ _____________________________ D
A ....................C

A é o pé da árvore, B é o topo da árvore, AC é a largura do rio e CD = 40
Agora una B com C e depois B com D

No triângulo ABC o ângulo C vale 60º -----> A^CB = 60º
No triângulo CBD o ângulo D vale 30º -----> B^DC = 30º

A^CB + B^CD = 180º (ângulo raso) -----> 60º + B^CD = 180º ----> B^CD = 120º

No triângulo BCD -----> B^CD + C^BD + B^DC = 180º -----> 120º + C^BD + 30º = 180º -----> C^BD = 30º

Logo, este triângulo é isósceles -----> BC = CD ------> BC = 40

Veja que, até aqui os cálculos foram iguais aos seus, já que os dados são os mesmos.

No triângulo ABC temos:

AC = BC*cos60º -----> AC = 40*(1/2) ----> AC = 20 m -----> Largura do rio ----> Até aqui continua igual

AB = BC*sen60º -----> AB = 40*(V3/2) ----> AB = 20*V3 ----> Altura da árvore
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Re: Triângulos

Mensagempor rafaelplaurindo » Segunda Dez 27, 2010 11:59 pm

Entendi seu calculo perfeitamente. Então, o segmento AB é o tamanho da árvore, BC e BD, é o segmento que liga o topo da árvore ao pé da pessoa. Conclui-se assim, que a pessoa está de frente para ela, isto é paralela verticalmente, só que na outra margem do rio, num é isso mesmo? Assim sendo, devemos mentalizar o triângulo, como se estivesse "de pé" ou seja no plano vertical, como se estivéssemos olhando para ele na tela do computador. Assim sendo, realmente o desenho que fiz estava errado, mas porque imaginei o triângulo no plano horizontal e a árvore num outro ponto da margem. Do jeito que imaginei, a árvore não poderia estar paralela a pessoa, visto que o triângulo formado estava no plano horizontal, e a pessoa no plano vertical.
Mais uma vez, muito obrigado Elcio.
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