função quadratica

Assuntos matemáticos relacionados ao ensino médio.

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função quadratica

Mensagempor kalavi » Segunda Jul 04, 2011 4:16 pm

Alguém poderia mostrar como obter a equação quadratica a partir do gráfico?

Por exemplo neste gráfico:

Imagem

tenho as raízes x'=1; x''=3;
yv=0,5;
xv=2;

a forma geral de uma equação do 2º grau é ax²+bx+c=0
como obter os valores de a,b,c?
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Re: função quadratica

Mensagempor jcmatematica » Segunda Jul 04, 2011 4:37 pm

kalavi escrito:Alguém poderia mostrar como obter a equação quadratica a partir do gráfico?

Por exemplo neste gráfico:

Imagem

tenho as raízes x'=1; x''=3;
yv=0,5;
xv=2;

a forma geral de uma equação do 2º grau é ax²+bx+c=0
como obter os valores de a,b,c?


Utilize as relações de GIRARD: SOMA de raizes e também PRODUTO de raizes.
Um abraço!
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Re: função quadratica

Mensagempor Rodolfo » Segunda Jul 04, 2011 5:18 pm

vou ver se consigo clarear do jeito que costumo fazer, da um pouco de trabalho.

Olhando o gráfico sabemos que:

quando x=1, y=0
quando x=2, y=0,5
quando x=3, y=0

a forma geral é y=ax²+bx+c , substituindo os valores que temos no primeiro caso onde x=1 e y=0

0=a(1)²+b(1)+c
0=a+b+c

substituindo os valores que temos no segundo caso onde x=2 e y=0,5

0,5=a(2)²+b(2)+c
0,5=4a+2b+c => multiplicando ambos os lados por 2
1=8a+4b+2c

substituindo os valores que temos no terceiro caso onde x=3 e y=0

0=a(3)²+b(3)+c
0=9a+3b+c

juntando as três equações que temos, vamos formar um sistema linear no qual encontraremos os valores de a,b e c para encontrar a função desejada.

a+b+c=0
8a+4b+2c=1
9a+3b+c=0

Se você não conhece a regra de Cramer, dê uma olhada nesse link, tem um exemplo numérico, olhando acho que vc conseguirá fazer este.
http://www.algosobre.com.br/matematica/ ... ramer.html
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Re: função quadratica

Mensagempor Elcioschin » Segunda Jul 04, 2011 5:47 pm

Existe um modo bem mais simples:

A forma fatorada da função do 2º grau é: y = a*(x - x')*(x - x")

Para x = 2, y = 0,5 ----> 0,5 = a*(2 - 1)*(2 - 3) ----> 0,5 = a*1*(-1) ---> a = - 0,5

y = - 0,5*(x - 1)*(x - 3) ----> y = - 0,5*(x² - 4x + 3) ----> y = - 0,5x² + 2x - 1,5

Outra solução, usando as relações de Girard, conforme sugerido pelo jcmatematica:

x' + x" = - b/a ----> 1 + 3 = - b/a ----> b = - 4a

x'*x" = c/a -----> 1*3 = c/a -----> c = 3a

y = ax² + bx + c ---> y = ax² - 4ax + 3a ----> Para x = 2, y = 0,5 ---> 0,5 = a*2² - 4a*2 + 3a ----> a = - 0,5

y = - 0,5x² + 2x + 1,5
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