Análise Combinatória - contagem

Assuntos matemáticos relacionados ao ensino médio.

Moderadores: Helio Carvalho, Paulo Testoni, Elcioschin

Análise Combinatória - contagem

Mensagempor carledferreira » Segunda Nov 23, 2009 10:39 am

No livro "A Matemática do Ensino Médio", volume 4 da Coleção do Professor de Matemática, da Sociedade Brasileira de Matemática, na página 140, consta a seguinte questão:

9. a) De quantos modos o número 720 pode ser decomposto em um produto de dois inteiros positivos? Aqui consideramos, naturalmente, 8 x 90 como sendo o mesmo que 90 x 8.

b) E o número 144?


A solução dos autores é a seguinte:

a) Como 720 = 2^4 x 3^2 x 5^1, 720 possui 5 x 3 x 2 = 30 divisores. Aos pares, estes divisores formam produtos iguais a 720. Logo, há 15 modos de escrever 720 como um produto de divisores.

Bem, minha dúvida é quanto ao item b, imagino que há um equívoco aqui (o que acredito que seja por problema de revisão, pois é resultado de uma confusão no resultado de uma operação simples e, de forma alguma, eu acredito em erro dos autores, que estão entre os melhores matemáticos do País - com inúmeras obras de altíssima qualidade publicadas ):

b) Como 144 = 2^4 x 3^2, 144 = 3 x 3 = 9 divisores. (Imagino que aqui se origina o equívoco, pois é sabido que o número de divisores de 144 é 3 x 5 = 15) . Com eles podem ser formados 4 pares de divisores e, além disso, pode ser formado o produto 12 x 12. Assim, há 5 modos de escrever 144 como um produto de divisores.

Dessa forma, penso que a solução é: Como há 15 divisores (portanto, quantidade ímpar de divisores), os produtos podem ser formados por 7 pares de divisores e mais o produto 12 x 12., portanto, há 8 modos de se escrever 144 como um produto de divisores e seriam eles:
{(1, 144); (2,72); (3,48); (4,36); (6,24); (8,18); (9,16); (12,12)}.

Peço, por favor, que alguém me ajude com esta questão.
carledferreira
 
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Re: Análise Combinatória - contagem

Mensagempor Elcioschin » Segunda Nov 23, 2009 11:04 am

Você está corretísmo: são 15 divisores e 8 pares, pois o número 144 é quadrado perfeito
Elcioschin
 
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Re: Análise Combinatória - contagem

Mensagempor carledferreira » Segunda Nov 23, 2009 2:42 pm

Uma vez mais, Professor Elcio, grato por sua atenção e ajuda.
carledferreira
 
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Re: Análise Combinatória - contagem

Mensagempor lanadrife » Terça Nov 24, 2009 6:40 am

Caro Carled,

Você está correto quando supõe que o erro encontrado no livro citado (que é o volume que traz os enunciados e soluções dos exercícios de toda a coleção) trata-se de um equívoco, visto que essa coleção trata-se de um magnífico trabalho, no Brasil, dirigido aos professores de Matemática, do Ensino Médio.

O problema referido encontra-se, originalmente, no volume 2 da coleção, o qual apresenta o gabarito da questão (15 e 8), na página 303, portanto coincidente com a solução do Elcio e sugerida por você.

Abraços,

Lázaro.
lanadrife
 
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Re: Análise Combinatória - contagem

Mensagempor carledferreira » Quinta Nov 26, 2009 11:43 am

Grato, Lázaro, pela informação.

Abraços,

Carlos Eduardo.
carledferreira
 
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