Qual é a posição do número?

Assuntos matemáticos relacionados ao ensino médio.

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Qual é a posição do número?

Mensagempor thiago19br » Sábado Nov 28, 2009 11:47 pm

Com os algarismos 1, 2, 3, 5, 7 e 9 um professor utilizando um programa computacional gerou todos os números de seis algarismos distintos.
Ao colocá-los em ordem crescente, verificou que a posição ocupada pelo número 795 321 é a?

(A) 600ª.
(B) 900ª.
(C) 1200ª.
(D) 1800ª.
(E) 3600ª.
thiago19br
 
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Re: Qual é a posição do número?

Mensagempor gbooliveira » Domingo Nov 29, 2009 1:42 am

thiago19br escrito:Com os algarismos 1, 2, 3, 5, 7 e 9 um professor utilizando um programa computacional gerou todos os números de seis algarismos distintos.
Ao colocá-los em ordem crescente, verificou que a posição ocupada pelo número 795 321 é a?

(A) 600ª.
(B) 900ª.
(C) 1200ª.
(D) 1800ª.
(E) 3600ª.


Gerar todos os números de 6 algarismos com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 7 e 9 é a mesma coisa que dizer que você irá permutar os 6 algarismos, que também é a mesma coisa que dizer que isso é 6!
se você fizer a conta vai perceber que o número MÁXIMO de números que você pode gerar é 720, portanto a única alternativa possível é a A, onde o número citado ocupa a 600a. posição...

Mas vamos resolver o exercício como se não exisitissem alternativas, ok?

Ao fazer as permutações você precisa considerar qual o maior número gerado, o menor e também quantos número aparecem em determinados intervalos.

Neste exercício o menor número gerado é 123579

O maior número que pode ser gerado é 975321

O número que o exercício pede para que seja determinada a posição é 795 321 (note que é extremamente parecido com o maior número, cuidado para não confundir)

Agora vamos estabelecer a quantidade de número que aparecem em cada intervalo para ir, aos poucos, obtendo a posição do número pedido pelo exercício.

Vejamos quantos número são do tipo 1----- , ou seja, números que começam com 1, ou melhor ainda, números entre 100000 e 199999 (claro que só valem números onde aparecem os 6 algarismos definidos pelo exercício)

Para identificar quantos são os números que começam com um vamos fazer um novo arranjo fixando o número 1 na primeira posição e permutando os outros cinco algarismos entre si. Temos então 5! = 120

Ou seja, dos números possíveis, 120 começam com 1.

Seguindo o mesmo raciocínio, os números possíveis que começam com 2 também são 120 e também o que começam com 3 e com 5.

Até aqui contamos todos os números possíveis que começam com 1, 2, 3 ou 5 e obtivemos como resultado 480 (120 x 4).

Já com 7 o problema muda pois não interessam mais TODOS os números, mas somente os menores que 795 321.

Vamos contar quantos são os números do tipo 71----, 72----, 73----, 75---- pois todos os números deste tipo são menores do que o número em questão e ainda não foram contados.

o cálculo desse tipo de número é feito de maneira semelhante com a diferença de possuirmos dois algarismos fixos e então vamos permutar apenas os 4 restantes.

teremos então 4! como resultado para cada um dos 4 tipos de números o que resultará em 4 x 4! = 96 ( e até aqui temos o subtotal de 576)

Como não são todos os números do tipo 79---- que nos interessam vamos novamente analisar quais são as opções que ainda não foram contadas.

Temos agora números do tipo 791---, 792---, 793--- e já sabemos como conta-los. Permutando os 3 restantes, teremos 3! x 3 = 18 ( e nosso subtotal cresce para 594)

Restam agora os números do tipo 795--- mas nem todos nos interessam. Vamos às opções:

São números do tipo 7951--, 7952--, que contaremos como 2 x 2! = 4 ( e aqui nosso subtotal vai para 598)

Finalmente vamos contar os últimos números que são do tipo 7953-- mas nem todos nos interessam.

Interessam 79531- e 79532- . Perceba que aki como5 algarismos são fixos só existe uma possibilidade que no caso gera o número 795312 que vale 599 no subtotal e o número 795321 que vale 600 no subtotal e total...

Desta forma determinamos a posição de um número dentro de uma sequência de números estabelecida.

Abraço.
gbooliveira
 
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