por Elcioschin » Quarta Set 16, 2009 3:51 pm
sen (a + a) = sen(2a) = 2*sena*cosa
sen(pi/8 + pi/8) = sen(pi/4) = 2*sen(pi/8)*cos(pi/8)
(V2/2) = 2*sen(pi/8)*cos(pi/8) ---> Elevando ao quadrado:
1/2 = 4*sen²(pi/8)*cos²(pi/8) ----> 1/8 = sen²(pi/8)*[1 - sen²(pi/8)] ----> 1/8 = sen²(pi/8) - [sen²(pi/8)]²
8*[sen²(pi/8)]² - 8*sen²(pi/8) + 1 = 0 ---> Equação do 2º grau na variável sen²(pi/8) ----> Bhaskara
sen²(pi/8) = [8 + - V(8² - 4*8*1)]/2*8 ----> sen²(pi/8) = (8 + -V32)16 ----> sen²(pi/8) = (2 + - V2)/4
Só vale o sinal negativo ----> sen²(pi/8) = (2 - V2)/4 ----> sen(pi/8) = V(2 - V2)/2
cos²(pi/8) = 1 - sen²(pi/8) ----> cos²(pi/8) = 1 - (2 - V2)/4 -----> cos²(pi/8) = (2 + V2)/4 ----> cos(pi/8) = V(2 + V2)/2
tg²(pi/8) = sen²(pi/8)/cos2(pi/8) ----> tg²(pi/8) = (2 - V2)/(2 + V2) ----> tg²(pi/8) = (2 - V2)*(2 - V2)/(2 + V2)*(2 - V2)
tg²(pi/8) = (6 - 4*V2)/2 ----> tg²(pi/8) = (3 - 2V2) ----> tg(pi/8) = V(3 - 2*V2) ---> tg(pi/8) = V(3 - V8)
Usando agora a transformação V(A - VB) = V{[A + V(A² - B)]/2} - V{[A - V(A² - B)]/2} ----> para A = 3, B = 8
tg(pi/8) = V2 - 1