Progressão Aritmética

Assuntos matemáticos relacionados ao ensino médio.

Moderadores: Helio Carvalho, Paulo Testoni, Elcioschin

Progressão Aritmética

Mensagempor andremsantos » Quarta Ago 02, 2017 11:08 am

Bom amigos!

Por favor, me ajuda a entender esta questão:

Cláudio dividiu um círculo em 15 setores circulares. As medidas
dos ângulos centrais desses setores, em graus, são números
inteiros positivos e formam uma progressão aritmética.
A menor medida possível, em graus, do ângulo central do menor
desses setores é:
(A) 1;
(B) 2;
(C) 3;
(D) 4;
(E) 5.

Gabarito: Letra C.
muito obrigado!
andremsantos
 
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Re: Progressão Aritmética

Mensagempor ivomilton » Quarta Ago 02, 2017 3:56 pm

andremsantos escrito:Bom amigos!

Por favor, me ajuda a entender esta questão:

Cláudio dividiu um círculo em 15 setores circulares. As medidas
dos ângulos centrais desses setores, em graus, são números
inteiros positivos e formam uma progressão aritmética.
A menor medida possível, em graus, do ângulo central do menor
desses setores é:
(A) 1;
(B) 2;
(C) 3;
(D) 4;
(E) 5.

Gabarito: Letra C.
muito obrigado!


Boa tarde, André.

Use as fórmulas de uma PA:
an = a1 + (n-1).r
S = (a1+an).n/2

Dados:
n = 15
s = 360°

S = (a1+an).n/2
360 = (a1+an).15/2
a1+an = 360.2/15 = 720/15
a1+an = 48
an = 48-a1

an = a1 + (n-1)r
48-a1 = a1 + (15-1)r
48 = 2a1 + 14r

Dividindo tudo por 2, vem:
a1 + 7r = 24 (Equação Diofantina)

Uma das soluções possíveis é:
a1 = 3
r = 3


As soluções gerais dessa Equação Diofantina são:
a1 = 3 - 7k
r = 3 + k

"a1" e "r", além de inteiros, devem ser positivos; portanto, vem:
a1 → 3 - 7k > 0 → 3 > 7k → 7k < 3 → k < 3/7 → k ≤ 0
r → 3 + k > 0 → k > -3 → k ≥ -2

Tabela:
k ___ a1(=3-7k) ___r(=3+k)
0 ......... 3 ............. 3
-1 ....... 10 ............. 2
-2 ....... 17 ............. 1

Logo, o menor valor para "a1" e "r" é:
a1 = 3
r = 3

Assim, as medidas, em graus, de cada um dos 15 setores deverá ser igual a:
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42 e 45 graus, cuja soma é igual a 360°.

Sendo a menor medida igual a 3 graus.

Alternativa (C)


Um abraço.
Vinde a mim todos os que estais cansados e oprimidos e eu vos aliviarei. Tomai sobre vós o meu jugo e aprendei de mim que sou manso e humilde de coração e achareis descanso para a vossa alma porque o meu jugo é suave e o meu fardo e leve. Mt 11:28-30
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