Análise combinatória

Assuntos matemáticos relacionados ao ensino médio.

Moderadores: Helio Carvalho, Paulo Testoni, Elcioschin

Análise combinatória

Mensagempor Argo_toran » Terça Maio 29, 2018 5:49 pm

DESAFIO EXPONENCIAL DE ANÁLISE COMBINATÓRIA

"N" clubes disputam um torneio de futebol onde todos jogam entre si uma única vez (Total de jogos: Cn,2- Combinações simples de “n” elementos 2 a 2). A vitória vale 3 pontos, o empate 1 e a derrota 0. 1) De quantas maneiras distintas eles poderão estar dispostos ao final da competição, levando-se em conta a pontuação e a classificação? Resolver o problema para:
a) 3 clubes b) 4 clubes c) "n" clubes (Obs. NÃO É 3 ELEVADO AO NÚMERO DE JOGOS). Exemplo: - Para 2 clubes, teríamos a seguinte situação: A vence B: A 3 pontos e B 0; B vence A: B 3 pontos e A 0; o jogo termina empatado: A e B com 1 ponto cada. Total: 3 possibilidades.(Aqui deu 3 elevado ao número de jogos (1), mas com certeza absoluta em outras situações isso não se repete, como iremos demonstrar). 2) Resolver o mesmo problema para os mesmos ítens, levando-se em conta que agora os clubes jogarão entre si 2 vezes (Total de jogos: An,2-Arranjos sem repetição de “n” elementos 2 a 2).Exemplo: -Para 2 clubes teríamos: A vence as duas para B: A 6 pontos e B 0; A vence uma e empata a outra: A 4 pontos e B 1; B vence as duas: B 6 pontos e A 0; B vence uma e empata a outra: B 4 pontos e A 1; Cada um vence uma: A e B com 3 pontos cada. As duas partidas terminam empatadas: A e B com 2 pontos cada. Total : 6 possibilidades. Isso demonstra CLARAMENTE que não é 3 elevado ao número de jogos, porque aí daria 9 possibilidades. 3) Resolver o mesmo problema para os mesmos ítens, levando-se em conta que os clubes jogarão agora entre si "n" vezes.
4) Agora vamos admitir que seja alterado o sistema de contagem de pontos: ao invés do tradicional: 3,1 0, teríamos a seguinte contagem: 0 por derrota, 1 por empate, 2 por vitória com 1 gol de diferença, 3 por vitória com 2 gols de diferença, 4 por vitória com 3 gols de diferença............... n pontos por vitória com (n - 1) gols de diferença. Então a contagem de pontos seria: 0, 1, 2, 3, 4..................n. Pronto ! pode começar. No total são 18 respostas, sendo 9 pelo sistema tradicional de contagem, e mais 9 no hipotético sistema de contagem de pontos.
Argo_toran
 
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