Geometria Espacial - Cone¹

Assuntos matemáticos relacionados ao ensino médio.

Moderadores: Helio Carvalho, Paulo Testoni, Elcioschin

Geometria Espacial - Cone¹

Mensagempor julianav » Sexta Set 04, 2009 3:52 pm

A geratriz de um tronco de cone é, ao mesmo tempo, 400% maior que um raio do tronco e 25% maior que o outro raio. Sendo 'a' a medida do raio menor, determine a área total e o volume do tronco.

RESPOSTA:

área total: 42II(pi) a²
volume: 28II(pi) a³
julianav
 
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Re: Geometria Espacial - Cone¹

Mensagempor Elcioschin » Sexta Set 04, 2009 8:13 pm

Raio da base menor = a
Raio da base maior = R
Altura do tronco = Ht
Altura do cone menor = h
Altura do cone maior = H

g = 5*a
g = 1,25*R

R/a = 5/1,25 -----> R/a = 4 -----> R = 4*a

(Ht)² + [(2R - 2a)/2]² = g² ----> (Ht)² + (3a)² = (5*a)² ----> (Ht)² = 16*a² ----> Ht = 4a

H/h = R/a ---> H/h = 4*a/a ---> H = 4*h ---> H = Ht + h ---> 4*h = 4a + h ---> 3*h = 4*a ---> h = 4a/3 ---> H = 16a/3

Vc = (1/3)*pi*(4*a)²*H ----> Vc = (1/3)*pi*(16*a²)*(16*a/3) ----> Vc = (256/9)*pi*a³

V'c = (1/3)*pi*(a²)*h -----> V'c = (1/3)*pi*a²*(4a/3) ----> V'c = (4/9)*pi*a³

Vt = Vc - V'c ----> Vt = (84/3)*pi*a³

Calcule você a área lateral do tronco, sendo g' a geratriz do cone menor e G a do cone maior:

g' = (5/3)*g ----> g' = (5/3)*5a ----> g' = (25/3)*a

G = g + g' ----> G = 5a + (5/3)*a ----> G = (20/3)*a

A = pi*R*G - pi*a*g'

Confira as contas, por favor, já que deu diferente do gabarito
Elcioschin
 
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Re: Geometria Espacial - Cone¹

Mensagempor matadordequestoes » Terça Abr 07, 2020 7:08 pm

Gente a questão é muito simples. (Adotarei a letra Q com o significado de pi)
Ele diz que a geratriz é 400% maior que um raio e 25% maior d'outro. A partir disso, temos que a geratriz é 5a, que corresponde ao raio 400% (1+4). Porém temos que o outro raio mede apenas 25% a mais, podendo ser escrito como 1,25, ou seja, g= 5a -> g= 1,25R -> R= 4a.
Como a figura é cone e temos que calcular sua altura para se calcular o volume, temos um trapézio. g=5a, o raio menor = a e o raio maior = 4a, fazendo o triângulo pitagórico surgir-se-á: Ht^2 + (3a)^2= (5a)^2 -> Ht^2 = 25a^2 - 9a^2 -> Ht^2= 16a -> Ht= 4a.
Agora que achamos a altura vamos aplicar na famigerada fórmula de volume: h/3 (Ab + AB + raiz das áreas). Todavia, temos que achar as áreas das bases.
Área Total (At) = AB + Ab +Al --> Al= Q ( 4a+5a).5=25 (1 parte) ---> AB= (4a)^2.Q= 16Qa^2 (2 parte) ---> Ab= a^2.Q= a^2Q (3 parte) ---> At= 25a + a^2Q + 16a^2Q = 42Qa2 cm^2 (Nosso gabarito para a área total).

Voltemos, pois ao volume: 4a/3 .(16a^2Q + a^2Q + 4a^2Q) ---> 4a/3 ( 21a^2Q) ---> 4a . 7a^2Q ---> 28Qa^3 cm^3 (Nosso gabarito para o volume total).
Obs: É um absurdo eu depois de 10 anos posta em discussão a questão vir aqui para ter que resolvê-la.
matadordequestoes
 
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