Boa noite.
A questão que vou postar aqui, provavelmente já deve ter sido respondida em outro tópico, mas acredito que meu questionamento sobre ela seja novo.
No Vol.1 do Guidorizzi, temos o seguinte:
Sejam a, b, c reais fixos e suponha que, para todo x, | a + bx + cx²| ≤ | x |³. Prove que a = b = c = 0.
Utilizando o Teorema do Confronto, que é o tema qual faz parte esse exercício, encontramos a prova pedida fazendo lim x->0 (foi a primeira idéia que tive e que encontrei nos sites de resposta).
Meu questionamento foi o seguinte: das condições vem que deve ser demonstrado para todo x e não apenas quando x->0.
Então fiz lim x->p, deste modo e com alguma álgebra, cheguei a uma situação que a, b e c apresentavam valores em função de x, contrariando a hipótese, que nos diz de a,b e c fixos. Assim conclui que para não contrariar a hipótese, apenas a terna trivial, a=b=c=0 satisfaria o pedido.
A questão é a seguinte: é valido esse raciocínio que apresentei?
Se não, peço que me expliquem porque é suficiente que eu aplique apenas lim x->0.
Apresentada minha dúvida, vou me apresentar. Sou Matheus, de São Paulo, mas resido atualmente no Rio Grande do Sul. Não estudo formalmente nem trabalho com nada relacionado a Matemática. Estudo por conta e por prazer, infelizmente sem nenhum guia, senão os livros (que isso sirva de desculpa para alguns senões que eu vier a cometer). Espero muito, que diferente dos grupos do tipo Yahoo respostas e similares, aqui seja um grupo sério, que pelo que acompanhei de relance, pareceu-me ser.
Desde já agradeço.
Matheus.