Capitais ao mesmo praqzo taxas nominais diferentes

Dúvidas envolvendo problemas de Matemática Financeira.

Moderador: Financista

Capitais ao mesmo praqzo taxas nominais diferentes

Mensagempor kiwinzel » Sexta Mar 16, 2012 6:09 pm

Dois capitais foram aplicados: o primeiro de $8.000 á taxa nominal de 20%a.a. , capitalizada trimestralmente. O segundo, de $ 33.800,80 a taxa nominal de 10% a.a. , capitalizada semestralmente. em quantos anos os dois capitais produzirão o mesmo rendimento? Resp. 12 anos ( Peço aos amigos que me mostrem a forma mais simples de resolver este problema).
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Re: Capitais ao mesmo praqzo taxas nominais diferentes

Mensagempor ivomilton » Sábado Mar 17, 2012 4:47 pm

kiwinzel escrito:Dois capitais foram aplicados: o primeiro de $8.000 á taxa nominal de 20%a.a. , capitalizada trimestralmente. O segundo, de $ 33.800,80 a taxa nominal de 10% a.a. , capitalizada semestralmente. em quantos anos os dois capitais produzirão o mesmo rendimento? Resp. 12 anos ( Peço aos amigos que me mostrem a forma mais simples de resolver este problema).


Boa tarde,

M = C(1+i)^n
J = M - C

J = C(1+i)^n - C = C * [(1+i)^n - 1]

i1 = 20%aa/t → 1 ano = 4 trimestres, logo → i1 = 20/4 = 5% a.t. → 5% a.t. = (1,05)² a.s. = 1,1025 a.s. = 10,25% a.s.
i2 = 10%aa/s → 1 ano = 2 semestres, logo → i2 = 10/2 = 5% a.s.

Assim, os juros renderão durante períodos iguais de um semestre:
C1 (8000) à taxa de 10,25% as.
C2 (33800) à taxa de 5% a.s.

J1 = 8000 * (1,1025^n - 1)
J2 = 33800 * (1,05^n - 1)

Como 1,1025 = (1,05)², podemos substituir a fórmula de J1 pela seguinte:
J1 = 8000 * {[(1,05)²]^n - 1}
J1 = 8000 * (1,05^2n - 1)

Portanto, ficará sendo:
J1 = 8000 * (1,05^2n - 1)
J² = 33800 * (1,05^n - 1)

Igualando-se J1 com J2, teremos:
8000*(1,05^2n - 1) = 33800*(1,05^n - 1)
8000*1,05^2n - 8000 = 33800*1,05^n - 33800
8000*1,05^2n - 33800*1,05^n - 8000 + 33800 = 0
8000*1,05^2n - 33800*1,05^n + 25800 = 0 → simplificando tudo por 200, fica:
40*1,05^2n - 169*1,05^n + 129 = 0

→ Note que temos duas potências de mesma base, com expoentes um o dobro do outro; estamos, então, diante de uma equação do 2º grau 'disfarçada'.

Podemos, assim, substituir 1,05^2n por x² e 1,05^n por x:
40*x² - 169*x + 129 = 0

Que resolvida por Bhaskara nos fornece:
x' = 258/80 = 3,225
x" = 80/80 = 1

Retornando ao valor que x representa,vem:
x = 1,05^n
x' = 1,05^n = 3,225
x" = 1,05^n = 1

Resolvendo quanto a "n":
1,05^n = 3,225
n*log(1,05) = log(3,225)
n = log(3,225)/log(1,05) = 0,508529719 / 0,021189299 = 24 semestres = 12 anos

1,05^n = 1
n*log(1,05) = log(1)
n = log(1)/log(1,05) = 0 / 0,021189299 = 0 → inadequada





Um abraço.
Vinde a mim todos os que estais cansados e oprimidos e eu vos aliviarei. Tomai sobre vós o meu jugo e aprendei de mim que sou manso e humilde de coração e achareis descanso para a vossa alma porque o meu jugo é suave e o meu fardo e leve. Mt 11:28-30
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Re: Capitais ao mesmo praqzo taxas nominais diferentes

Mensagempor jota-r » Domingo Mar 18, 2012 6:05 pm

kiwinzel escrito:Dois capitais foram aplicados: o primeiro de $8.000 á taxa nominal de 20%a.a. , capitalizada trimestralmente. O segundo, de $ 33.800,80 a taxa nominal de 10% a.a. , capitalizada semestralmente. em quantos anos os dois capitais produzirão o mesmo rendimento? Resp. 12 anos ( Peço aos amigos que me mostrem a forma mais simples de resolver este problema).


Olá.

Uma maneira um pouquinho diferente da apresentada pelo amigo Ivomilton:

Calculando as respectivas taxas efetivas, com a mesma periodicidade de capitalização dos juros (trimestral, por exemplo):

i1 = 20%a.a., capitalizada trimestralmente---->i1 = 20%/4 a.t. = 0,05 a.t.
i2 = 10% a.a., capitalizada semestralmente---->i2 = 10%/2 a.s. = 0,05 a.s. = 1,05^(1/2) - 1 a.t. = 0,024695077 a.t.

Rendimento do primeiro capital:

Observando que 1,05 = 1,024695077^2, vem:

J1 = 8000*[1,024695077^2n - 1]

Rendimento do segundo capital:

J2 = 33.800,80*(1,024695077^n - 1)

Por equivalência de valores, J1 = J2. Logo:

8000*[1,024695077^2n - 1] = 33800,80*(1,024695077^n - 1)
---->
33800,80/8000 = [1,024695077^2n - 1]/(1,024695077^n - 1)
---->
4,2251 = [1,024695077^2n - 1]/(1,024695077^n - 1)
---->
4,2251 = [1,024695077^2n -1]/(1,024695077^n -1]
---->
3,2251 = 1,024695077^n
---->
n = log 3,2251 / log 1,024695077
---->
n = 48 trimestres = 48/4 anos = 12 anos.

Um abraço.
jota-r
 
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Re: Capitais ao mesmo praqzo taxas nominais diferentes

Mensagempor eiji7 » Sábado Nov 11, 2017 4:19 pm

jota-r escrito:
kiwinzel escrito:---->
4,2251 = [1,024695077^(2n) -1]/(1,024695077^(n) -1]
---->
3,2251 = 1,024695077^n


Só para deixar claro aos de mais, que nesse passo foi usado produtos notáveis (a - b)x(a + b)
eiji7
 
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