Qual o desconto? (1)

Dúvidas envolvendo problemas de Matemática Financeira.

Moderador: Financista

Qual o desconto? (1)

Mensagempor Luiz 2017 » Quarta Jun 07, 2017 12:01 am

1º) Um lojista pretende por num anúncio o preço de um produto por $ 1.250,00 a ser pago em cinco prestações mensais iguais "sem juros" de $ 250,00 sendo a primeira um mês após a compra. Tem intenção de oferecer um desconto para pagamento à vista. Qual desconto percentual deverá oferecer, para que o pagamento à vista esteja condizente com um juro de 4,42% a.m. camufladamente embutido nas parcelas?

2º) Generalizando o problema nº 1, qual deverá a solução literal para "d" para quaisquer i, n, PMT e PV?
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Re: Qual o desconto? (1)

Mensagempor jota-r » Quinta Jun 08, 2017 1:56 pm

Olá.

Salvo erros de contas, eis minha solução:

1º) Qual desconto percentual deverá oferecer, para que o pagamento à vista esteja condizente com um juro de 4,42% a.m.
camufladamente embutido nas parcelas?

Sejam:

PV = preço de lista do produto = 1250,00
D = valor total do desconto a ser concedido ao prestamista, compatível com juro de 4,42% a.m.
PMT = valor da prestação com juro embutido = 250,00
PV' = preço do produto após o expurgo dos juros embutidos nas prestações, calculado conforme segue:
1250 - D = 250*(1/1,0442^1 + 1/1,0442^2 + 1/1,0442^3 + 1/1,0442^4 + 1/1,0442^5)
---->
1250 - D = 1099,95---->PV'
---->
D = 1250 - 1099,95 = 150,05
---->
D% = (150,05/1250)*100 = 12%


2º) Generalizando o problema nº 1, qual deverá a solução literal para o desconto, para quaisquer i, n, PMT e PV:

Generalizando, temos D% = (D/PV)*100, em que:

D = PV - PV'
PV = preço de lista do produto (com juros embutidos nas prestações)
PMT = valor unitário das prestações, com juros embutidos
PV' = preço do produto expurgado dos juros embutidos nas prestações, assim calculado:
PV' = PMT*(1/(1+i)^1+(1/(1+i)^2+(1/(1+i)^3+(1/(1+i)^4+(1/(1+i)^5



Um abraço.
jota-r
 
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Re: Qual o desconto? (1)

Mensagempor Luiz 2017 » Sexta Jun 09, 2017 5:12 pm





jota-r:

Na primeira parte, sua solução numérica está impecável e o resultado correto. Na segunda parte, na solução literal, sua solução foi até além do esperado, embora, digamos assim, por uma maneira "manual", que percorre toda a série, capitalização por capitalização, mês a mês. Penso que desta forma se, por exemplo, n=360, teria algum trabalho para o cálculo de PV'. Imaginei que uma equação seria suficiente.

De qualquer forma, corroborando sua excelente solução, apresento a minha:



1º) Solução numérica:

n = 5 meses
i = 4,42% = 0,0442 am.
PMT = $ 250,00
Desconto = d = ?
Obs: p/ex. se d = 0,18 então d = 18/100 = 18% e assim sucessivamente.

Se haverá desconto, então o valor efetivamente financiável, o PV, será o resultado do número de prestações multiplicado pelo valor da prestação, e desse resultado subtraído desconto. Em outras palavras:

PV = (1-d)*n*PMT

Da equação geral do valor presente, postecipado temos:

PV = PMT*[1 - (1+i)^(-n)]/i

Substituindo valores:

(1-d)*n*PMT = PMT*[1 - (1+i)^(-n)] / [i]

(1-d)*5 = [1 - (1+0,0442)^(-5)] / [0,0442]

(1-d) = [1 - 1,0442^(-5)] / [0,0442 x 5]

1-d = [1 - 0,80552969] / [0,221]

d = 1 - [0,1944703] / [0,221]

d = 1 - 0,87995612

d = 0,12004

Portanto, o desconto será:

d = 12%



2º) Solução literal:

Em raciocínio análogo, se há desconto, então o valor efetivamente financiável, o PV, será o resultado do número de prestações multiplicado pelo valor da prestação, e desse resultado subtraído desconto, ou seja:

PV = (1-d)*n*PMT

Da equação geral do valor presente, postecipado tem-se:

PV =PMT*[1 - (1+i)^(-n)] / [i]

Substituindo o valor de PV:

(1-d)*n*PMT = PMT*[1 - (1+i)^(-n)] / [i]

(1-d) = [1 - (1+i)^(-n)] / [n*i]

Portanto, a equação geral para o desconto, com pagamento postecipado será:

d = 1 - [1 - (1+i)^(-n)] / [n*i]



Conclusões:

1- Como se vê, esta última expressão determina o desconto mínimo (d) a ser concedido, independente do valor do produto (PV) ou da prestação (PMT), sendo função apenas da taxa (i) e do tempo (n), para que o pagamento à vista seja mais vantajoso que o parcelamento.

2- Pode também informar a taxa máxima a ser cobrada, ou o prazo mínimo a ser concedido, para que o pagamento à vista seja mais vantajoso que o parcelamento.


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Re: Qual o desconto? (1)

Mensagempor jota-r » Sábado Jun 10, 2017 1:01 pm

Olá, Luiz.

As expressões entre parênteses são termos de uma PG, em que:

a1 = 1/1,0442^1 = 0,957671
Q = (1/1,0442^2)/((1/1,0442^1) = 0,957671
n = 5

E, como Spg = [a1*q^n - a1)/(q-1), tem-se:

PV' = PMT*[a1*q^n - a1)/(q-1)
---->
PV' = 250*[(0,957671*0,957671^5 - 0,957671)]/(0,957671-1)
---->
PV' = 250*(-0,186238)/(-0,042329)
---->
pv' = 1099,94

Como este método é valido até para n tendendo a + infinito, seu "tamanho" não invalida minha generalização.

Além do mais, se aplicarmos a teoria das somatórias no excel, o resultado é obtido facilmente.

Conclusão: sua resolução é muito boa, mas a minha também tem seus méritos.


Um abraço.
jota-r
 
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