por Luiz 2017 » Sexta Jun 09, 2017 5:12 pm
jota-r:
Na primeira parte, sua solução numérica está impecável e o resultado correto. Na segunda parte, na solução literal, sua solução foi até além do esperado, embora, digamos assim, por uma maneira "manual", que percorre toda a série, capitalização por capitalização, mês a mês. Penso que desta forma se, por exemplo, n=360, teria algum trabalho para o cálculo de PV'. Imaginei que uma equação seria suficiente.
De qualquer forma, corroborando sua excelente solução, apresento a minha:
1º) Solução numérica:
n = 5 meses
i = 4,42% = 0,0442 am.
PMT = $ 250,00
Desconto = d = ?
Obs: p/ex. se d = 0,18 então d = 18/100 = 18% e assim sucessivamente.
Se haverá desconto, então o valor efetivamente financiável, o PV, será o resultado do número de prestações multiplicado pelo valor da prestação, e desse resultado subtraído desconto. Em outras palavras:
PV = (1-d)*n*PMT
Da equação geral do valor presente, postecipado temos:
PV = PMT*[1 - (1+i)^(-n)]/i
Substituindo valores:
(1-d)*n*PMT = PMT*[1 - (1+i)^(-n)] / [i]
(1-d)*5 = [1 - (1+0,0442)^(-5)] / [0,0442]
(1-d) = [1 - 1,0442^(-5)] / [0,0442 x 5]
1-d = [1 - 0,80552969] / [0,221]
d = 1 - [0,1944703] / [0,221]
d = 1 - 0,87995612
d = 0,12004
Portanto, o desconto será:
d = 12%
2º) Solução literal:
Em raciocínio análogo, se há desconto, então o valor efetivamente financiável, o PV, será o resultado do número de prestações multiplicado pelo valor da prestação, e desse resultado subtraído desconto, ou seja:
PV = (1-d)*n*PMT
Da equação geral do valor presente, postecipado tem-se:
PV =PMT*[1 - (1+i)^(-n)] / [i]
Substituindo o valor de PV:
(1-d)*n*PMT = PMT*[1 - (1+i)^(-n)] / [i]
(1-d) = [1 - (1+i)^(-n)] / [n*i]
Portanto, a equação geral para o desconto, com pagamento postecipado será:
d = 1 - [1 - (1+i)^(-n)] / [n*i]
Conclusões:
1- Como se vê, esta última expressão determina o desconto mínimo (d) a ser concedido, independente do valor do produto (PV) ou da prestação (PMT), sendo função apenas da taxa (i) e do tempo (n), para que o pagamento à vista seja mais vantajoso que o parcelamento.
2- Pode também informar a taxa máxima a ser cobrada, ou o prazo mínimo a ser concedido, para que o pagamento à vista seja mais vantajoso que o parcelamento.